数字信号处理学习笔记--Chapter 1.4.1 时域采样定理基本概念

1 背景信号被采样后再频域会发生什么变化2 理想时域采样2.1 采样利用周期性理想冲击函数序列从连续信号中抽取一系列的离散值得到2.2 采样器类似于一个电子开关开关每间隔T秒采样间隔闭合一次使得时间离散使用周期性理想冲击函数序列以采样周期T等间隔采样可以得到时域离散的信号clear; clc; f0 5; fs 200; Ts 1/fs; t_continuous linspace(0, 1, 1000); t_discrete 0:Ts:1; x_continuous sin(2*pi*f0*t_continuous); x_discrete sin(2*pi*f0*t_discrete); figure; plot(t_continuous, x_continuous, b-, LineWidth, 1.5); hold on; stem(t_discrete, x_discrete, r, LineWidth, 2, ... MarkerSize, 8, MarkerFaceColor, r); hold off; grid on; xlabel(时间 (s)); ylabel(幅度); title(时域采样前后对比); legend(连续信号, 离散采样点); xlim([0, 0.5]);就理想采样而言周期性冲激函数序列的各冲激函数准确地出现在采样瞬间上采样后的信号完全于输入信号在采样瞬间的幅度相同。冲激函数序列理想采样输出%% 绘制周期为T的周期性冲激函数序列 δ_T(t) clear all; close all; clc; %% 参数设置 T 0.2; % 周期 (s) t_start -1; % 开始时间 t_end 1; % 结束时间 t_discrete t_start:T:t_end; % 冲激出现的时间点 % 冲激强度理论上无穷大图示中用1表示 impulse_amplitude 1; %% 创建图形窗口 figure(Position, [100, 100, 1000, 600]); % 绘制周期性冲激序列 stem(t_discrete, impulse_amplitude * ones(size(t_discrete)), r, ... LineWidth, 2.5, MarkerSize, 10, MarkerFaceColor, r); grid on; xlabel(时间 t (s), FontSize, 14); ylabel(δ_T(t), FontSize, 14); title(sprintf(周期性冲激函数序列 δ_T(t) (周期 T %.2f s), T), ... FontSize, 16, FontWeight, bold); xlim([t_start-0.1, t_end0.1]); ylim([-0.2, 1.5]); set(gca, FontSize, 12); % 添加标注 for i 1:length(t_discrete) text(t_discrete(i), 1.1, sprintf(%.2f, t_discrete(i)), ... HorizontalAlignment, center, FontSize, 9); end % 添加箭头表示冲激 annotation(arrow, [0.5, 0.5], [0.9, 0.95]);3 理想采样后信号频域变化3.1 变化过程思考时序的乘积 —— 1/2pi 乘以频域的卷积注意这里的频域为什么要乘以1/2piclear all; close all; clc; %% 参数设置 fs 1000; % 采样频率 t -5:1/fs:5; % 时间轴 N length(t); df fs/N; f (-N/2:N/2-1)*df; %% 定义两个信号 % 信号1高斯脉冲 sigma1 0.5; x1 exp(-t.^2/(2*sigma1^2)); % 信号2余弦信号 f0 2; x2 cos(2*pi*f0*t); % 时域乘积 y_time x1 .* x2; %% 方法1直接计算频域 X1 fftshift(fft(ifftshift(x1))) / fs; X2 fftshift(fft(ifftshift(x2))) / fs; Y_direct fftshift(fft(ifftshift(y_time))) / fs; %% 方法2频域卷积需要除以2pi conv_result conv(X1, X2) * df; Y_conv (1/(2*pi)) * conv_result; % 调整长度 Y_conv_interp interp1(linspace(-5,5,length(Y_conv)), Y_conv, f, linear, 0); %% 计算误差 error_abs abs(abs(Y_direct) - abs(Y_conv_interp)); max_error max(error_abs); mean_error mean(error_abs); rms_error sqrt(mean(error_abs.^2)); %% 创建图形包含误差子图 figure(Position, [100, 100, 1400, 900]); % 子图1-3原始信号 subplot(3,3,1); plot(t, x1, b, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(时间 (s)); ylabel(幅度); title(信号1高斯脉冲); xlim([-3, 3]); subplot(3,3,2); plot(t, x2, r, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(时间 (s)); ylabel(幅度); title(信号2余弦信号); xlim([-3, 3]); subplot(3,3,3); plot(t, y_time, g, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(时间 (s)); ylabel(幅度); title(时域乘积x_1(t)·x_2(t)); xlim([-3, 3]); % 子图4-6频谱 subplot(3,3,4); plot(f, abs(X1), b, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(频率 (Hz)); ylabel(|X_1(f)|); title(信号1的频谱); xlim([-10, 10]); subplot(3,3,5); plot(f, abs(X2), r, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(频率 (Hz)); ylabel(|X_2(f)|); title(信号2的频谱); xlim([-10, 10]); subplot(3,3,6); plot(f, abs(Y_direct), g, LineWidth, 1.5); grid on; xlabel(频率 (Hz)); ylabel(|Y(f)|); title(直接计算的乘积信号频谱); xlim([-10, 10]); % 子图7对比验证 subplot(3,3,7); plot(f, abs(Y_direct), g-, LineWidth, 2, DisplayName, 直接计算); hold on; plot(f, abs(Y_conv_interp), r--, LineWidth, 2, DisplayName, 频域卷积/2π); hold off; grid on; xlabel(频率 (Hz), FontSize, 12); ylabel(|Y(f)|, FontSize, 12); title(验证时域乘积 vs 频域卷积/2π, FontSize, 14); legend(Location, best); xlim([-10, 10]); ylim([0, max(abs(Y_direct))*1.1]); % 子图8误差曲线 subplot(3,3,8); semilogy(f, error_abs, m-, LineWidth, 2); hold on; % 添加误差参考线 line([-10, 10], [max_error, max_error], Color, r, LineStyle, --, LineWidth, 1.5); line([-10, 10], [mean_error, mean_error], Color, b, LineStyle, --, LineWidth, 1.5); line([-10, 10], [rms_error, rms_error], Color, g, LineStyle, --, LineWidth, 1.5); hold off; grid on; xlabel(频率 (Hz), FontSize, 12); ylabel(绝对误差, FontSize, 12); title(频谱幅度误差分析, FontSize, 14); xlim([-10, 10]); legend(误差曲线, sprintf(最大误差: %.2e, max_error), ... sprintf(平均误差: %.2e, mean_error), ... sprintf(RMS误差: %.2e, rms_error), Location, best); % 子图9相对误差 subplot(3,3,9); % 避免除零 Y_direct_abs abs(Y_direct); Y_direct_abs(Y_direct_abs 1e-10) 1e-10; relative_error error_abs ./ Y_direct_abs; plot(f, relative_error * 100, c-, LineWidth, 2); grid on; xlabel(频率 (Hz), FontSize, 12); ylabel(相对误差 (%), FontSize, 12); title(相对误差百分比, FontSize, 14); xlim([-10, 10]); ylim([0, max(relative_error(isfinite(relative_error)))*100 * 1.1]); line([-10, 10], [1, 1], Color, r, LineStyle, --, LineWidth, 1.5, DisplayName, 1% 误差线); legend(相对误差, 1% 参考线, Location, best); %% 添加统计信息文本框 annotation(textbox, [0.78, 0.02, 0.2, 0.12], ... String, sprintf(误差统计\n最大误差: %.2e\n平均误差: %.2e\nRMS误差: %.2e\n最大相对误差: %.2f%%, ... max_error, mean_error, rms_error, max(relative_error(isfinite(relative_error)))*100), ... FontSize, 10, BackgroundColor, [1, 1, 0.9], EdgeColor, k); %% 添加数学公式说明 annotation(textbox, [0.05, 0.02, 0.7, 0.05], ... String, 时域乘积定理x_1(t)·x_2(t) ←→ (1/2π) [X_1(jω) * X_2(jω)], ... FontSize, 12, HorizontalAlignment, center, ... BackgroundColor, [0.95, 0.95, 0.95], EdgeColor, k); %% 输出误差信息到命令窗口 fprintf(\n\n); fprintf(验证结果统计\n); fprintf(\n); fprintf(最大绝对误差: %.6e\n, max_error); fprintf(平均绝对误差: %.6e\n, mean_error); fprintf(RMS误差: %.6e\n, rms_error); fprintf(最大相对误差: %.2f%%\n, max(relative_error(isfinite(relative_error)))*100); fprintf(\n); if max_error 1e-10 fprintf(✓ 验证成功时域乘积定理成立\n); elseif max_error 1e-6 fprintf(✓ 验证基本成功误差在可接受范围内\n); else fprintf(⚠ 误差较大请检查计算过程\n); end fprintf(\n\n);3.2 公式计算3.2.1 时域的乘积 频域的卷积3.2.2 采样序列的频域3.2.3 周期性冲激函数序列的频域这里对于的计算过程周期性冲激函数序列用傅里叶级数展开傅里叶级数的系数这里称为采样角频率称为采样频率综上周期冲击函数序列在频域上是幅度为谱间隔为的频谱3.2.4 汇总理想采样的频域变换时域离散 频域周期延拓注折叠频率3.2.5 混叠失真3.2.5.1 不混叠若带限信号最高频谱分量不超过理论上说只要用一个截止频率为的理想低通滤波器对进行处理就能得到从而得到3.2.5.2 混叠若带限信号最高频谱分量超过由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠使得抽样信号的频域产生混叠现象4 时域采样定理4.1 说明令是一个带限信号即当那么能唯一的由它的样本所决定唯有满足4.2 折叠频率为折叠频率它如同一面镜子当信号最高频率超过时就会被折叠回来造成频谱混叠